மேம்பட்ட கணிதம்

### மேம்பட்ட கணித பாடத்தின் மேலோட்டம்

மேம்பட்ட கணித பாடத்திற்கு வரவேற்கிறோம்! இந்த பாடநெறி பல்வேறு கணித துறைகள் பற்றிய விரிவான மற்றும் ஆழமான புரிதலை வழங்கும் வகையில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இது கணிதத்தில் தங்கள் அறிவையும் திறமையையும் ஆழப்படுத்த விரும்பும் எவருக்கும் முக்கியமான பல தலைப்புகளை உள்ளடக்கியது. இந்த பாடத்திட்டத்தில் உள்ளடக்கப்பட்ட முக்கிய பாடங்களின் விரிவான கண்ணோட்டம் கீழே உள்ளது:

#### 1. கணித உகப்பாக்கம்
கணித உகப்பாக்கம் என்பது சாத்தியமான தீர்வுகளின் தொகுப்பிலிருந்து சிறந்த தீர்வைக் கண்டறியும் ஆய்வு ஆகும். இந்த பகுதி உள்ளடக்கியது:
- **Convex Optimization:** குவிவு செயல்பாடுகளை மேம்படுத்துவதற்கான நுட்பங்கள், இவை ஒரு உலகளாவிய குறைந்தபட்சம்.
- **முழு நிரலாக்கம்:** சில அல்லது அனைத்து மாறிகளும் முழு எண்களுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்ட உகப்பாக்கம்.
- **டைனமிக் புரோகிராமிங்:** சிக்கலான சிக்கல்களை எளிமையான துணைப் பிரச்சனைகளாகப் பிரிப்பதன் மூலம் அவற்றைத் தீர்ப்பது.
- **நான்லீனியர் புரோகிராமிங்:** நேரியல் அல்லாத செயல்பாடுகளை மேம்படுத்துதல்.
- **லீனியர் புரோகிராமிங்:** நேரியல் கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்ட நேரியல் புறநிலை செயல்பாடுகளின் மேம்படுத்தல்.

#### 2. நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளிவிவரங்கள்
இந்த பகுதி தரவுகளின் பகுப்பாய்வு மற்றும் விளக்கத்துடன் தொடர்புடையது. முக்கிய தலைப்புகளில் பின்வருவன அடங்கும்:
- **பின்னடைவு மற்றும் தொடர்பு:** மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவுகளை மாடலிங் மற்றும் பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான முறைகள்.
- **புள்ளிவிவர அனுமானம்:** மாதிரி தரவுகளின் அடிப்படையில் மக்கள்தொகை பற்றிய முடிவுகளை வரைதல்.
- **நிகழ்தகவுப் பரவல்கள்:** பல்வேறு வகையான நிகழ்தகவுப் பரவல்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளைப் புரிந்துகொள்வது.
- **ரேண்டம் மாறிகள்:** ரேண்டம் நிகழ்வுகளின் எண்ணியல் விளைவுகளின் சாத்தியமான மதிப்புகளைக் கொண்ட மாறிகள்.
- **நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு:** நிச்சயமற்ற தன்மையைக் கணக்கிடுவதற்கான கணிதக் கட்டமைப்பு.

#### 3. இடவியல்
இடவியல் என்பது தொடர்ச்சியான சிதைவுகளின் கீழ் மாறாமல் இருக்கும் பண்புகளின் ஆய்வு ஆகும். உள்ளடக்கப்பட்ட தலைப்புகள்:
- **அடிப்படைக் குழு:** இடைவெளிகளின் வடிவம் பற்றிய தகவல்களைப் படம்பிடிக்கும் இயற்கணித அமைப்பு.
- ** சுருக்கம் மற்றும் இணைப்பு:** பகுப்பாய்வு மற்றும் இடவியலில் முக்கியமான இடங்களின் பண்புகள்.
- **தொடர்ச்சி மற்றும் ஹோமியோமார்பிஸம்:** இடவியல் பண்புகளை பாதுகாக்கும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் மற்றும் மேப்பிங்.
- **Topological Spaces:** இடவியலில் ஆய்வுக்கான அடிப்படைப் பொருள்கள்.
- **டோபாலஜியின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள்:** திறந்த மற்றும் மூடிய தொகுப்புகள், தளங்கள் மற்றும் பிற அடிப்படைக் கருத்துக்களுக்கான அறிமுகம்.

#### 4. எண்ணியல் முறைகள்
எண் முறைகள் என்பது கணித சிக்கல்களை எண்ணியல் ரீதியாக தீர்க்கும் வழிமுறைகள். இந்தப் பிரிவில் பின்வருவன அடங்கும்:
- **வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான எண்ணியல் தீர்வுகள்:** வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான தோராயமான தீர்வுகளுக்கான நுட்பங்கள்.
- ** நேரியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வு முறைகள்:** காசியன் நீக்குதல் மற்றும் LU சிதைவு போன்ற முறைகள்.
- **எண் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வேறுபாடு:** தோராயமான ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்கள்.
- **ரூட்-கண்டுபிடிப்பு அல்காரிதம்கள்:** செயல்பாடுகளின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிவதற்கான நுட்பங்கள்.
- **பிழை பகுப்பாய்வு:** எண் கணக்கீடுகளில் பிழைகளைப் புரிந்துகொள்வது மற்றும் குறைப்பது.

#### 5. வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்
மாறுபட்ட சமன்பாடுகள் மாற்ற விகிதங்கள் சம்பந்தப்பட்ட உறவுகளை விவரிக்கின்றன. தலைப்புகளில் பின்வருவன அடங்கும்:
- **பகுதி வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்:** பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்கிய சமன்பாடுகள்.
- **லேப்ளேஸ் மாற்றங்கள்:** வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறை.
- **வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்:** பல ஒன்றோடொன்று தொடர்புடைய வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை பகுப்பாய்வு செய்தல்.
- **உயர்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்:** உயர்-வரிசை வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்கிய சமன்பாடுகள்.
- **முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்:** முதல்-வரிசை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை நுட்பங்கள்.

#### 6. சிக்கலான பகுப்பாய்வு
சிக்கலான பகுப்பாய்வு சிக்கலான மாறிகளின் செயல்பாடுகளை ஆய்வு செய்கிறது. முக்கிய தலைப்புகள்:
- **இணக்கமான வரைபடங்கள்:** உள்நாட்டில் கோணங்கள் மற்றும் வடிவங்களைப் பாதுகாக்கும் செயல்பாடுகள்.
- **தொடர் மற்றும் எச்சங்கள்:** சிக்கலான செயல்பாடுகளை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான நுட்பங்கள்.
- **சிக்கலான ஒருங்கிணைப்பு:** சிக்கலான விமானத்தில் ஒருங்கிணைப்பு.
- **பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள்:** உள்நாட்டில் குவிந்த சக்தித் தொடர்களால் வழங்கப்படும் செயல்பாடுகள்.
- **சிக்கலான எண்கள்:** கலப்பு எண்களின் அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் செயல்பாடுகள்.

#### 7. உண்மையான பகுப்பாய்வு
உண்மையான பகுப்பாய்வு என்பது உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகள் மற்றும் வரிசைகளின் ஆய்வு ஆகும். இந்த பகுதி உள்ளடக்கியது:
- **மெட்ரிக் இடைவெளிகள்:** தூரம் என்ற கருத்தை பொதுமைப்படுத்தல்.
- **ஒருங்கிணைப்பு:** உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பதற்கான நுட்பங்கள்.
- **வேறுபாடு:** வேறுபாட்டின் விதிகள் மற்றும் பயன்பாடுகள்.
- **தொடர்ச்சி மற்றும் வரம்புகள்:** கால்குலஸின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள்.
- **வரிசைகள் மற்றும் தொடர்கள்:** வரிசைகள் மற்றும் தொடர்களின் ஒருங்கிணைப்பு பண்புகள்.

#### 8. சுருக்க இயற்கணிதம்
சுருக்க இயற்கணிதம் குழுக்கள், வளையங்கள் மற்றும் புலங்கள் போன்ற இயற்கணித அமைப்புகளைப் படிக்கிறது. தலைப்புகளில் பின்வருவன அடங்கும்:
- **கலோயிஸ் கோட்பாடு:** புலக் கோட்பாடு மற்றும் குழுக் கோட்பாடு ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பு.
- ** பல்லுறுப்புக்கோவை வளையங்கள்:** பல்லுறுப்புக்கோவைகளை உள்ளடக்கிய இயற்கணித கட்டமைப்புகள்.
-**ஹோமோமார்பிஸங்கள் மற்றும் ஐசோமார்பிஸங்கள்:** இயற்கணித கட்டமைப்புகளுக்கு இடையே கட்டமைப்பு-பாதுகாக்கும் வரைபடங்கள்.
- **வளையங்கள் மற்றும் புலங்கள்:** அடிப்படை இயற்கணித கட்டமைப்புகள்.
- **குழுக்கள் மற்றும் துணைக்குழுக்கள்:** குழுக் கோட்பாட்டில் அடிப்படைக் கருத்துக்கள்.

#### 9. நேரியல் இயற்கணிதம்
நேரியல் இயற்கணிதம் என்பது திசையன்கள், திசையன் இடைவெளிகள் மற்றும் நேரியல் மாற்றங்கள் பற்றிய ஆய்வு ஆகும். முக்கிய தலைப்புகள்:
- **உள் தயாரிப்பு இடைவெளிகள்:** புள்ளி தயாரிப்பின் பொதுமைப்படுத்தல்கள்.
- **நேரியல் உருமாற்றங்கள்:** திசையன் கூட்டல் மற்றும் அளவிடல் பெருக்கத்தைப் பாதுகாக்கும் செயல்பாடுகள்.
- **Eigenvalues ​​மற்றும் Eigenvectors:** நேரியல் மாற்றங்களின் பண்புகள் மற்றும் பயன்பாடுகள்.
- **மெட்ரிஸ்கள் மற்றும் தீர்மானங்கள்:** நேரியல் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கும் நேரியல் மாற்றங்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் கருவிகள்.
- **வெக்டார் ஸ்பேஸ்கள்:** நேரியல் இயற்கணிதத்தில் உள்ள அடிப்படை கட்டமைப்புகள்.

#### 10. கோட்பாடு மற்றும் தர்க்கத்தை
அமைக்கவும் கோட்பாடு மற்றும் தர்க்கம் ஆகியவை நவீன கணிதத்தின் அடித்தளமாக அமைகின்றன. தலைப்புகளில் பின்வருவன அடங்கும்:
- **முன்கணிப்பு தர்க்கம்:** அளவுகோல்களுடன் கூடிய முன்மொழிவு தர்க்கத்தின் விரிவாக்கம்.
- **முன்மொழிவு தர்க்கம்:** அடிப்படை தருக்க செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்.
- **உறவுகள் மற்றும் செயல்பாடுகள்:** கணிதத்தில் அடிப்படைக் கருத்துக்கள்.
- **செட்களில் செயல்பாடுகள்:** யூனியன், குறுக்குவெட்டு மற்றும் வேறுபாடு போன்ற அடிப்படை தொகுப்பு செயல்பாடுகள்.
- **தொகுப்புகளின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள்:** தொகுப்புகள், துணைக்குழுக்கள் மற்றும் கார்டினாலிட்டி பற்றிய அறிமுகம்.

இந்த ஒவ்வொரு பகுதியிலும் மேம்பட்ட கருத்துக்களை அறிமுகப்படுத்தும் போது, ​​உங்கள் தற்போதைய அறிவைக் கட்டமைக்கும் வகையில் இந்தப் பாடநெறி கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. பொருளுடன் ஆழமாக ஈடுபடவும், சவாலான சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும், மேம்பட்ட கணிதத்தைப் பற்றிய வலுவான புரிதலை வளர்க்கவும் தயாராகுங்கள். கணிதத்தின் கண்கவர் உலகில் உங்கள் பயணத்தை அனுபவிக்கவும்!

Lessons:
• கணித உகப்பாக்கம்
• நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளியியல்
• கட்டமைப்பியல்
• எண் முறைகள்
• வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்
• சிக்கலான பகுப்பாய்வு
• உண்மையான பகுப்பாய்வு
• சுருக்க இயற்கணிதம்
• நேரியல் இயற்கணிதம்
• கோட்பாடு மற்றும் தர்க்கத்தை அமைக்கவும்